Qu'est-ce que equation d'euler differentielle ?

L'équation d'Euler différentielle est une équation différentielle linéaire d'ordre deux qui peut être utilisée pour modéliser plusieurs phénomènes physiques. Elle est généralement écrite sous la forme :

y'' + 2αy' + β^2y = 0

où y est la fonction inconnue et α et β sont des constantes réelles. Cette équation peut être résolue en trouvant une solution de la forme :

y = e^(rt)

En substituant cette solution dans l'équation d'Euler différentielle, on obtient une équation caractéristique :

r^2 + 2αr + β^2 = 0

Les solutions de cette équation sont appelées les racines de l'équation caractéristique et peuvent être soit réelles soit complexes conjuguées. En fonction des racines, les solutions de l'équation d'Euler différentielle peuvent être de trois types : oscillantes, exponentielles décroissantes ou exponentielles croissantes.

L'équation d'Euler différentielle est utilisée dans de nombreux domaines des sciences physiques et mathématiques pour modéliser des systèmes oscillants, tels que les oscillateurs mécaniques, électriques ou photoniques, les ondes sonores ou électromagnétiques. Elle est également utilisée en mécanique quantique pour décrire l'équation de Schrödinger de certaines particules en mouvement.